在纯数学领域中，猜想和证明是两个重要的组成部分。

撰文  佐佑

图片 雯雯子 & 岳岳子

数学猜想被认为是数学定理发展的起点，它是尚未被证明的结论或命题；一旦猜想得到证明，它就变成了一个定理。

数学猜想的提出并非寻常事件，它们往往源自于那些有着惊人直觉的非凡数学天才。牛顿、黎曼、哥德巴赫、高斯、欧拉和拉马努金等就是这样的天才。我们今天要说的故事，就与传奇数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）有关。

1887 年，拉马努金出生在印度的一个贫寒的家庭。在印度时，他没有受到过正式而系统的数学教育。但凭借着惊人的数学天赋和热情，并在伯乐哈代（G.H.Hardy，剑桥大学数学家）的帮助下，他在短暂的 32 年的人生里，为数学领域留下了无穷的瑰宝。

在拉马努金的各种非凡才能中，其中一项是他能凭直觉构建出未经证明的数学公式。他的手稿中充满了公式，却很少见他写下那些常出现在传统数学论文中的证明。这一天赋启发了以色列理工学院的一群研究人员。他们提出，能否建造一个能模仿拉马努金的“直觉”的“猜想生成器”，它只需要负责生成猜想，无需考虑如何证明它们。

2 月 3 日，这群研究人员将一篇题为《用拉马努金机生成关于基本常数的猜想》的新论文发表在了《自然》杂志上。论文描述了如何利用人工智能和计算机自动化技术，发展出一种能自动生成以公式形式出现的数学猜想的算法。研究人员将这个算法命名为拉马努金机。

自 2019 年起，他们开始在项目的网站上公开得到的猜测，到现在，已经有许多生成的猜想被公布，其中有的已经被证明是正确的，有的还尚未解决，还有一些则是在此之前无人知晓的新公式。这些自动生成的猜想可以让数学家发现数学分支之间的一些在过去未知的联系。

这项研究涉及到了数学中最基本的一个元素——基本数学常数，它们是从数学计算和数学结构中自然产生的具有固定数值的数。这些基本数学常数不仅在数学中非常重要，在数学之外的领域也扮演着重要角色。

人工智能在计算数字方面有着优越的能力，例如它们能轻而易举的计算出 π 的前几千位。新研究中的拉马努金机就可以利用算法推导出与基本常数有关的数学公式，这个过程就会产生猜想。

正如前面所提到的，在这种算法出现之前，猜想大多是基于天才们的罕见发现。这也是为何在几百年的时间里，只有数十个这样的公式被发现。而拉马努金机只用几个小时，就发现了高斯在一生的工作中发现的所有与π有关的公式，还有许多高斯不知道的公式。

可以说，这种算法的出现显著加速了与基本常数有关的数学猜想的生成，帮助数学家识别这些常数之间的未知关系。然而值得强调的是，这并不意味着，我们已经可以依靠自动化来进行数学研究，无需数学家的存在。就目前而言，这个算法本身并不能证明它所发现的猜想，证明猜想的任务仍然只有数学家才能完成。

另外，目前的拉马努金机的应用有限，它们只能生成一种特定类型的公式，即连分数。这是一种将一个数表示为嵌套在彼此分母中的无限分数序列的过程。研究人员将这一算法运用在了一系列重要的基本常数上，比如 π、e，以及卡塔蓝常数（Catlan’s constant）——这个数字起源于 19 世纪比利时数学家 Eugène Catalan 的研究。

连分数。图片来源：ramanujanmachine.com

以卡塔蓝常数为例，这个常数约等于 0.916，它非常神秘，没有人知道它究竟是有理数还是无理数。数学家能够做到的最好判断是证明了它的“无理性指数”至少为 0.554，如果要证明它是无理数，其无理性指数需要大于 1。现在，研究人员利用拉马努金机，计算出这一常数的无理性指数为 0.567，有略微的提高。

利用计算机来辅助数学研究已经在许多方面取得了可喜的成果。研究人员认为，未来，像拉马努金机这样的算法将能用作为一个有用的工具，引领着数学猜想在所有数学领域的发展。或许，随着人工智能所生成的数学的复杂性不断增加，数学家最终将无法跟上人工智能的脚步，理解计算机在做什么。